此問(wèn)題中，其實(shí)絕對光滑不太合適，一般可以考慮原子級別的光滑就已經(jīng)可以使用（或可以看做沒(méi)有接觸角滯后現象）。為了讓解析式簡(jiǎn)便，此題轉化為：

如果將體積為V的液體水滴落到原子級別光滑的光滑固體表面上，設固體表面對水的接觸角為θ，那么液滴穩定后，液滴與固體之間的接觸面積S有多大？

下面我僅僅使用參數V和θ，以及水的物性常數找出S的簡(jiǎn)單解析式。

首先，此題必須分為兩種情形。第一種，是液體V很小時(shí)，此時(shí)表面張力占主導地位。此解法宮非前輩已經(jīng)給出，但是其解析式不夠簡(jiǎn)化。因此我進(jìn)一步加以簡(jiǎn)化。當表面張力占主導時(shí)，液滴成完美的球缺狀，如圖1所示。

圖1液體體積很小時(shí)，毛細作用力占主導的情形，液滴呈球形

此時(shí)根據球的體積公式，以及簡(jiǎn)單的三角函數變換，就可以得出S與V和θ的關(guān)系，具體推導過(guò)程如圖2所示。

圖2接觸面積S的推導過(guò)程

此時(shí)可以看出，S與V的2/3次方是正比例關(guān)系。對于自然界任何光滑的表面，接觸角處于0到122°的范圍內，可以繪出S與θ的關(guān)系，如圖3所示。

圖3接觸面積隨著(zhù)接觸角的變化關(guān)系

上圖是接觸角從5°到120°范圍內的接觸面積的變化關(guān)系，基本上涵蓋了自然界中的大多數物質(zhì)的光滑固體表面。

然后再是第二種情形，就是液體體積很大，此時(shí)表面張力很弱，重力占主導地位的場(chǎng)景。此時(shí)，液滴在光滑固體表面的呈現出扁平狀。如圖4所示。

圖4液體體積很大的情形

有意思的是，已經(jīng)有前人對這種情形做過(guò)詳細的受力分析。得出只要接觸角一定，此時(shí)無(wú)論加多少水，液體的厚度e都不會(huì )增加，只會(huì )增加鋪展的面積。其厚度e的表達式為：

式中，γ為表面張力，p為密度，g為重力加速度。

由于此時(shí)，表面張力影響很小，液膜可以看成均勻的厚度，所以滿(mǎn)足

V=Se

從而可以推出：

圖5液體接觸面積的推導公式。

至于具體的推導e的過(guò)程，可以見(jiàn)如下分析：

參考文獻：Capillarity and Wetting Phenomena書(shū)籍。