2計算區域及數值方法

2.1控制方程

液滴撞擊液池的運動(dòng)過(guò)程可以使用帶有表面張力項的變密度、不可壓縮Navier-Stocks方程來(lái)描述，具體控制方程如下：

式中，ρ=ρ（x,t）為流體密度，u=（u,v,w）為流體速度，p為壓力，μ=μ（x,t）是流體的動(dòng)力黏度，變形張量D定義為Dij=（?iuj+?jui）/2,σ為表面張力系數，κ為界面曲率，狄拉克分布函數δs表示表面張力僅作用于兩相界面處，n為兩相界面的法向量。

Gerris采用經(jīng)典的VOF方法追蹤相界面，對于兩相流動(dòng)，引入計算網(wǎng)格中第一種流體的體積分數c（x,t），并定義混合流體的密度和黏度為：

式中，ρ1,ρ2,μ1,μ2分別是第一種流體和第二種流體的密度以及黏度；函數?c由體積分數c平滑處理后得出，以便提高計算的穩定性。

密度對流方程可由等效的體積分數對流方程替換

2.2數值方法

本文數值模擬采用基于Linux的開(kāi)源軟件Gerris進(jìn)行，該軟件使用基于四叉樹(shù)（二維）/八叉樹(shù)（三維）的自適應空間離散方法，使用分步投影方法求解變密度不可壓縮的Navier-Stocks方程，使用VOF方法跟蹤相界面。高度函數和界面附近的自適應網(wǎng)格細化可以精確表示表面張力作用，對流項使用Godunov格式求解，并行計算采用MPI庫進(jìn)行。

如圖1所示，水滴撞擊深水液池的數值模擬在軸對稱(chēng)坐標系中進(jìn)行，Y軸為計算區域的對稱(chēng)軸，D為初始水滴直徑，R=D/2,正方形計算區域的長(cháng)度H=20D,水滴距離液面的距離H1=0.1D,液池深度H2=12D以消除底部對液滴撞擊運動(dòng)的影響，水滴在重力g和撞擊速度Vi的作用下撞擊液池。采用雷諾數、韋伯數和弗勞德數來(lái)描述液滴撞擊的運動(dòng)特征，三者分別表征液體慣性力與黏滯力間的關(guān)系、液體慣性力與表面張力間的關(guān)系以及液體慣性力與重力間的關(guān)系。三個(gè)無(wú)量綱參數的表達式如（7）式所示，主要物理參數如表1所列。

表1主要物理參數

圖1計算區域簡(jiǎn)圖

2.3自適應網(wǎng)格技術(shù)

采用數值方法對高速液滴的撞擊運動(dòng)進(jìn)行準確的模擬極具挑戰性，因為運動(dòng)產(chǎn)生的微小界面變形、復雜的幾何形狀以及特征尺度的巨大差異需要足夠的網(wǎng)格分辨率來(lái)捕捉，從而大幅地增加了計算量與計算時(shí)間。目前針對該問(wèn)題的一個(gè)有效解決方法是采用自適應網(wǎng)格（adaptive mesh refinement,AMR）技術(shù)。根據流動(dòng)特征對網(wǎng)格進(jìn)行局部細化或粗化使得AMR技術(shù)可以將計算效率集中在最需要的區域，從而以最小的計算成本獲取精確的結果。

本文采用Gerris進(jìn)行數值模擬，Gerris使用有限體積法（FVM）來(lái)求解控制方程，并根據四叉樹(shù)網(wǎng)格自適應規則和條件將計算域離散為不同等級的計算網(wǎng)格。水滴撞擊深水液池數值模擬的關(guān)鍵位置在于液~液界面的交接處以及相界面附近，本文依此設計如下網(wǎng)格自適應規則，每一步更新一次計算網(wǎng)格，其中最大網(wǎng)格加密層數為11層，即在一個(gè)計算區域（box,Lbox=10）內的最大網(wǎng)格數量為211.圖2為計算區域初始狀態(tài)自適應網(wǎng)格的空間離散示意。

1）計算初始加密水滴與液池接觸區域，即水滴與液池相界面處正負0.15內的網(wǎng)格至11層。

2）自動(dòng)加密相界面附近體積分數在0—1之間、梯度變化劇烈區域的網(wǎng)格，最大加密到11層，最小加密到6層，以最小化界面重建產(chǎn)生的誤差。

3）自動(dòng)加密渦量變化區域的網(wǎng)格，根據其變化劇烈程度最大加密到11層，最小加密到4層。

4）根據U,V速度分量的變化自動(dòng)加密網(wǎng)格，最大加密到11層。

5）限制2）—4）條規則最小加密層數的加密區間為：Y向液滴中心上方2R至水面下方4R;x向對稱(chēng)軸左右4R內的矩形內，以提高計算效率。

圖2計算初始狀態(tài)的空間離散

2.4模型驗證與率定

為了保證數值模擬結果的準確性，本文選擇Morton的實(shí)驗數據對數值模型進(jìn)行驗證，實(shí)驗使用直徑為2.9 mm的液滴撞擊液池，弗勞德數及韋伯數分別為Fr=220,We=248.如圖3所示，照片為高速攝影機攝得的實(shí)驗過(guò)程，白色線(xiàn)條表示相同時(shí)間節點(diǎn)下的數值模擬結果，t為物理時(shí)間乘以Vi/D后的無(wú)量綱時(shí)間。液滴下落后沖擊液池并產(chǎn)生了一個(gè)空腔，腔體在t=7.9時(shí)達到最大化?？涨凰莺竺毑ㄏ蛑行奶巶鬟f，并坍縮形成中心射流，使其高度不斷增大，在射流頂端斷裂生成二次液滴。由于實(shí)驗環(huán)境的復雜性，模擬條件與實(shí)驗條件無(wú)法完全一致，且本文采用軸對稱(chēng)模型假定進(jìn)行模擬，無(wú)法捕捉非對稱(chēng)運動(dòng)，因此模擬值與實(shí)驗值存在一定差異。但數值模擬在界面變形、空腔的形成與成長(cháng)、毛細波在空腔底部的傳播等方面與實(shí)驗值取得了良好的一致性，且在空腔形成過(guò)程中給出了較實(shí)驗更加詳盡的毛細波運動(dòng)細節，中心射流最大高度以及空腔最大深度的誤差分別為1.7%,2.6%,表明數值模擬能夠較好地描述液滴撞擊液池的運動(dòng)。

圖3數值模擬與實(shí)驗結果對比