2理論模型及計算方法

2.1理論模型

假設一不可壓縮液滴在均勻加熱的固體表面上不斷蒸發(fā),如圖1所示,液滴初始最大厚度為,流動(dòng)方向尺度為L(cháng),壁面溫度為w.由于ε=?1(圖1中的H?,L?僅為表示清楚,不代表真實(shí)比例),因此可應用潤滑理論(上標～表示有量綱量,下同).

圖1液滴在加熱表面鋪展示意圖

液滴運動(dòng)過(guò)程的控制方程包括連續性方程、動(dòng)量方程和能量方程:

界面處的蒸發(fā)流量與界面溫度有關(guān),可表示為

為避免接觸線(xiàn)處出現應力奇點(diǎn),在水平方向施加Navier滑移邊界條件:

壁面溫度滿(mǎn)足

由于固-液、固-氣界面張力目前仍難以通過(guò)實(shí)驗直接測量,假設固-液、固-氣界面張力不隨溫度改變,而氣-液界面張力與溫度滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系:

將控制方程和邊界條件采用下式進(jìn)行無(wú)量綱化:

通過(guò)無(wú)量綱變換和保留數量級≥Ο(ε),可得無(wú)量綱控制方程組為

無(wú)量綱邊界條件為無(wú)量綱形式的界面張力與溫度關(guān)系為

液滴表面溫度為

采用積分法可得液滴厚度的演化方程為

(27)式右側依次代表毛細力、重力、熱毛細力和蒸發(fā)在液滴運動(dòng)過(guò)程中的作用.

液滴在理想光滑表面上,在三相接觸線(xiàn)處,Young方程為

為描述接觸角遲滯影響,采用以下線(xiàn)性經(jīng)驗關(guān)聯(lián)式描述前進(jìn)接觸角和后退接觸角與遲滯角之間的關(guān)系:

式中,A≥0是與粗糙度無(wú)關(guān),與液體性質(zhì)有關(guān)的常數;遲滯角Δθ與表面粗糙度和化學(xué)異質(zhì)性有關(guān).

接觸線(xiàn)處的液滴高度為零,即h(x=xcl=xcr,t)=0,其中xcl和xcr分別代表左側和右側接觸線(xiàn)位置.采用下式描述接觸線(xiàn)移動(dòng)速率與接觸角間的關(guān)系[28](下標c代表接觸線(xiàn)):

式中,B和m為常數;θ為動(dòng)態(tài)接觸角;υc>0代表接觸線(xiàn)向外鋪展,υc<0代表向內收縮.

計算初始條件為

式中,F(x)=0.5[1+tanh(20x)].

基于Karapetsas等提出的坐標變換法,將瞬態(tài)物理域(x,t)映射到固定計算域(x',t'),

液滴運動(dòng)區域設定為–1≤x'≤1,時(shí)間導數表示如下:

(36)式用于替換控制方程(27)的相應項.

數值求解采用Freefem++14.3,該軟件是求解偏微分方程的強大工具,是一款免費的、開(kāi)放源代碼的有限元計算軟件,目前已經(jīng)比較成熟地運用在各類(lèi)數值模擬中,對于液滴、液膜的流體數值計算也很常見(jiàn).該軟件采用Delaunay算法生成離散偏微分方程所需網(wǎng)格,具有網(wǎng)格自適應和移動(dòng)網(wǎng)格生成的功能;采用稀疏矩陣存儲格式,內存需求少,計算速度快,是求解復雜區域問(wèn)題的高效計算軟件.

2.2計算模型驗證

參照朱仙仙等用4μL去離子水在加熱溫度為60°的玻璃表面上的蒸發(fā)實(shí)驗數據,換算得到無(wú)量綱參數,各參數取值為:ε=0.1,A=0.39,B=0.007,m=3,C=–0.004,Bo=0.007,Ca=0.5,K=10,E=1×10-3,Ωlg=0.003.首先,為了驗證數值模擬結果的準確性,將接觸角和接觸線(xiàn)隨時(shí)間變化的實(shí)驗結果無(wú)量綱化后與模擬值進(jìn)行對比,結果如圖2(a)和圖2(b)所示.可以看出,Δθ=0.27時(shí)的模擬值與實(shí)驗結果總體符合良好,即采用考慮接觸角遲滯的理論模型可更準確地反映液滴的運動(dòng)過(guò)程.值得注意的是,朱仙仙等所給實(shí)驗結果并未呈現液滴鋪展階段,可能是由此階段變化較快、不易觀(guān)測記錄所致;模擬結果和實(shí)驗結果有偏差的原因可能是實(shí)驗時(shí)基底加熱時(shí)受熱不均勻或者基底傳熱能力不一致,也有可能是基于潤滑理論建立模型時(shí),未考慮液滴蒸氣擴散所致.

圖2計算模型的驗證(a)接觸角的演化過(guò)程;(b)接觸線(xiàn)的演化過(guò)程;(c)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗證

此外,模擬時(shí)進(jìn)行了網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗證,在x方向上對比了網(wǎng)格數為300,500和800的結果,發(fā)現增加網(wǎng)格數使計算時(shí)長(cháng)增大,而各特征參數計算結果數值差距不大,以圖2(c)的接觸線(xiàn)演化過(guò)程為例,網(wǎng)格數為500時(shí)可同時(shí)滿(mǎn)足精確性與高效性的要求.因此,計算中時(shí)間步長(cháng)設為10–6,將[0,2]×[0,1]的計算域劃分為500×2個(gè)均勻網(wǎng)格.因方程(27)是一維的,液滴厚度h與y方向無(wú)關(guān),所以為節約計算時(shí)間,在y方向僅劃分2層網(wǎng)格.