2皂膜表面張力系數測量

由于皂膜厚度很小，其表面張力系數不能簡(jiǎn)單采用對半無(wú)限深液體表面張力系數分析的結果。Sane等通過(guò)皂膜的力平衡分析得到一種測量皂膜表面張力系數的簡(jiǎn)便方法，但在推導中多處采用了近似方法。本文給出一個(gè)嚴格推導，得出確切結論，并通過(guò)后文介紹的平面流動(dòng)皂膜測量結果對該結論進(jìn)行檢驗，證明推導的正確性；在此基礎上，計算皂膜的表面張力系數。

如圖1(a)所示，尼龍繩BE和CD下方懸掛質(zhì)量為m的砝碼以施加張力、保持流道穩定。當沒(méi)有皂液流動(dòng)時(shí)，尼龍線(xiàn)BE和CD在砝碼作用下保持鉛直；當皂液流入流道形成皂膜，尼龍繩BE和CD在皂膜表面張力的作用下向皂膜側略微收縮，形成微微內凹的流道(圖中對內凹程度有所放大)。從力平衡的角度出發(fā)，推導出該內凹曲線(xiàn)的形狀與皂膜表面張力系數的關(guān)系，可以給出一種測量流動(dòng)皂膜表面張力系數的方法。

選取尼龍繩BE的中點(diǎn)O為坐標系原點(diǎn)，x軸為重力方向。設A為尼龍繩OB段上任一點(diǎn)，坐標為(xA,yA)，對尼龍繩段OA進(jìn)行受力分析。簡(jiǎn)單的受力大小估計表明：當皂膜流向方向的尺寸在1 m量級、砝碼自重在1 kg量級時(shí)，尼龍繩自重、流動(dòng)皂膜對尼龍繩的動(dòng)壓力、黏性力等都至多為尼龍繩張力的1/104，在后續分析中忽略它們對尼龍繩力平衡的影響。因此，尼龍繩受到點(diǎn)O、點(diǎn)A的拉力FO、FA以及尼龍繩上各微元段ds=dx/cosθ(x)的表面張力，其中，θ(x)表示尼龍繩上一點(diǎn)x處切向方向與重力方向的夾角。由于對稱(chēng)性，在中點(diǎn)O處θ(0)=0。因此，尼龍繩段OA在水平和豎直方向的受力平衡關(guān)系式分別為：

在推導式(1)和(2)時(shí)，假設皂膜邊界上的表面張力系數γ不隨位置而變化(對于充分發(fā)展達到穩定流動(dòng)的皂膜，此假設是合理的)；式中的系數“2”是考慮到皂膜前后表面都會(huì )對尼龍繩產(chǎn)生表面張力。

將式(1)和(2)相除，并注意到點(diǎn)A的任意性，可以得到描述流道內凹形狀的曲線(xiàn)方程：

對式(3)積分，并結合邊界條件y(x=0)=0，得到曲線(xiàn)方程如下：

式(4)中包含未知參數FO(即尼龍繩中點(diǎn)O處的拉力)，其值可以通過(guò)將式(2)應用于B點(diǎn)，并代入B點(diǎn)處尼龍繩的力平衡關(guān)系FBcosθ(xB)=mg/2得到：

式中，L為BE段尼龍繩長(cháng)度，推導式(5)時(shí)使用了xB=L/2。式(4)可稍加整理為：

其中，參數2γL/FO的值為：

式(6)和(7)即為邊界曲線(xiàn)形狀的準確方程。在推導方程的過(guò)程中，除物理上的簡(jiǎn)單假設(如忽略尼龍繩自重)外，未作任何數學(xué)上的近似。

與懸掛物(砝碼)的重力相比，表面張力通常很小。例如，當L=1 m、m=1 kg時(shí)，取純水的表面張力系數γ=72 mN/m，得到2γL/(mg)≈1.5×10-2，代入式(7)得到2γL/FO≈3.0×10-2。記ε=2γL/FO，ε′=2γL/(mg)，則ε和ε′為同階遠小于1的小量。因此，對式(6)關(guān)于ε進(jìn)行小參數展開(kāi)可得：

式(8)表明：流道邊界曲線(xiàn)方程可以很好地用拋物線(xiàn)來(lái)近似(因為下一階修正項為ε3項)，并且給出了確切的系數，可以據此測出皂膜的表面張力系數。在實(shí)際應用中，可以利用ε′?1對其進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到：

為驗證曲線(xiàn)方程(10)，在砝碼質(zhì)量m=0.2 kg、皂液流量Q=35 mL/min時(shí)，實(shí)測了穩態(tài)流動(dòng)皂膜狀態(tài)下尼龍繩的位置坐標，如圖2中的離散點(diǎn)所示。尼龍繩位置通過(guò)照相得到，為獲得較大范圍內的圖像，采用的放大倍數為1個(gè)像素對應0.35 mm的物理尺寸。對尼龍繩圖像在水平方向的光強分布進(jìn)行高斯函數擬合以獲得亞像素的定位精度。圖2中的光滑曲線(xiàn)是采用式(10)進(jìn)行擬合的結果，與實(shí)測曲線(xiàn)吻合良好，驗證了分析的正確性。利用已知的砝碼質(zhì)量，可以進(jìn)一步得到表面張力系數γ=27.5 mN/m。值得注意的是：當砝碼質(zhì)量很小時(shí)，表面張力引起的流道收縮很大(在中點(diǎn)O處達到最大值12%)，為避免由此帶來(lái)的流速和厚度場(chǎng)改變，在流動(dòng)皂膜實(shí)驗中一般使用m=2 kg的砝碼。

圖2流道邊界實(shí)測值(紅色點(diǎn))與理論分析(藍色線(xiàn))對比

Sane等推導了表面張力系數與尼龍繩曲線(xiàn)方程的關(guān)系，但并未獲得曲線(xiàn)方程的精確解，而是采用高階多項式對實(shí)測曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，發(fā)現選取二階多項式可以得到較好的結果，從而也獲得了式(10)，并通過(guò)擬合系數得到了表面張力系數。本文的嚴格推導說(shuō)明：流道邊界曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)加上高兩階小量的修正。圖(2)也證明了這一推導結論的正確性。

采用測量邊界曲線(xiàn)形狀的方式來(lái)獲得表面張力系數，在實(shí)驗上存在一處困難：通常邊界曲線(xiàn)曲率較小，為測出其具體形狀必須拍攝較大范圍；對于幅面大小一定的相機，這意味著(zhù)空間分辨率的降低，給準確確定邊界曲線(xiàn)帶來(lái)了一定困難。因此，本文提出一種新的、更簡(jiǎn)便易行的表面張力系數測量方法。

根據式(10)，可以給出流道中點(diǎn)O在有皂膜流動(dòng)時(shí)相對于無(wú)皂膜流動(dòng)時(shí)(即尼龍繩為豎直狀態(tài)時(shí))的位移：

因此，通過(guò)測量給定砝碼質(zhì)量下流道中點(diǎn)O的位移，就可以很方便地使用式(11)得到皂膜的表面張力系數。此方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是：無(wú)需拍攝大范圍的尼龍繩圖像，照相時(shí)可以采用較大的放大倍數，獲得較高的空間分辨率。在實(shí)際應用時(shí)，本文采用了每像素對應0.01 mm物理尺寸的分辨率。根據式(11)，γ≈2mgyO/L2，砝碼質(zhì)量m=(500±1)g和尼龍繩長(cháng)度L=(500±1)mm的測量都可以控制在0.2%的測量偏差范圍內。當yO=(1±0.01)mm的測量偏差范圍降低至1%，實(shí)現了僅有2%左右不確定度的表面張力系數測量。

圖3給出了在同一皂液流量Q=35 mL/min下測得的流道中點(diǎn)O的位移隨砝碼質(zhì)量的變化以及根據式(11)擬合的直線(xiàn)。所有數據點(diǎn)都很好地落在過(guò)原點(diǎn)的擬合直線(xiàn)上，進(jìn)一步驗證了本文推導的正確性。根據直線(xiàn)斜率測得的表面張力系數γ=27.1 mN/m，與前述拋物線(xiàn)擬合法得到的結果相近。

圖3流道中點(diǎn)O在有/無(wú)皂膜流動(dòng)時(shí)的位移量隨砝碼質(zhì)量的變化

利用這一方法，還測量了表面張力系數隨皂液流量的變化關(guān)系，如圖4所示。圖中曲線(xiàn)并非如部分文獻報道的“表面張力系數隨皂液流量增加而單調下降”，這可能是由于表面張力系數隨皂膜厚度變化而有所變化、且實(shí)驗中皂膜厚度并非均勻分布導致的。

圖4表面張力系數隨皂液流量的變化

3、結論

本文搭建了一個(gè)重力驅動(dòng)的平面流動(dòng)皂膜實(shí)驗裝置，能夠得到皂液流量Q=5~60 mL/min、平均速度u=1~4 m/s、平均厚度h=3~9μm的穩定豎直流動(dòng)的皂膜。為測量皂膜的表面張力系數，基于皂膜邊界上的力平衡方程推導得到流動(dòng)皂膜邊界曲線(xiàn)方程的精確解。實(shí)驗結果驗證了本文推導，并由此得出表面張力系數的兩種測量方法。此外，還提出了一種基于光學(xué)干涉的皂膜厚度測量方法。將該方法與皂膜流動(dòng)速度剖面測量相結合，可以給出皂膜的厚度剖面。本文中提出的皂膜表面張力系數及厚度的測量方法簡(jiǎn)便易行，可以較為全面地測量平面流動(dòng)皂膜并評估其特性(如擾動(dòng)波在皂膜中的傳播速度)。